文章摘要
LCY AI Pro

本文详细解释了微积分A（2）期末考试的复习内容。

第八章 曲线积分与曲面积分

本章研究的是"在曲线上积分"和"在曲面上积分"的问题。如果说定积分是沿着一条直线段（区间）做加法，那么曲线积分就是沿着一条弯弯曲曲的曲线做加法，曲面积分则是在一块曲面上做加法。理解这一本质，整章内容便豁然开朗。

第一节 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）

一、从物理问题引入

设想一条空间中弯曲的金属丝，其质量分布并不均匀——有的地方粗，有的地方细，导致每一点的线密度 ρ(x,y,z)\rho(x, y, z) 各不相同。我们如何求出这条金属丝的总质量？

回顾定积分的思路：我们曾用"分割 → 近似 → 求和 → 取极限"的方法计算过直线段上不均匀物体的质量。现在，唯一的区别在于——积分路径由直线段变成了空间曲线。

二、定义

设 LL 为 xOyxOy 面内的一条光滑曲线弧段，函数 f(x,y)f(x, y) 在 LL 上有界。我们将 LL 任意分割为 nn 个小弧段，记第 ii 个小弧段的弧长为 Δsi\Delta s_i，在该弧段上任取一点 (ξi,ηi)(\xi_i, \eta_i)，作和式：

∑i=1nf(ξi,ηi)Δsi\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i) \Delta s_i

如果当各小弧段的最大长度 λ→0\lambda \to 0 时，该和式的极限存在，且极限值与分割方式和取点方式无关，则称此极限为函数 f(x,y)f(x, y) 在曲线 LL 上的第一类曲线积分（或对弧长的曲线积分），记为：

∫Lf(x,y) ds=lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi,ηi)Δsi\int_L f(x, y) \, \mathrm{d}s = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i) \Delta s_i

其中 ds\mathrm{d}s 称为弧微分（或弧长元素）。

直观理解：第一类曲线积分就是把曲线上每一点处的函数值 ff（例如线密度）乘以该点附近微小的弧长 ds\mathrm{d}s，然后沿着整条曲线全部累加起来。它是一个标量（即一个数），与曲线的方向无关——无论你从 A 走到 B 还是从 B 走到 A，积分值都相同：

∫AB⌢f ds=∫BA⌢f ds\int_{\stackrel{\frown}{AB}} f \, \mathrm{d}s = \int_{\stackrel{\frown}{BA}} f \, \mathrm{d}s

三、计算方法——化为定积分

第一类曲线积分的核心计算思路是将曲线积分转化为定积分。具体做法依赖于曲线的表示形式。

情形一：曲线由参数方程给出

若曲线 LL 的参数方程为 x=x(t), y=y(t)x = x(t), \, y = y(t)，其中 t∈[α,β]t \in [\alpha, \beta]，且 x(t),y(t)x(t), y(t) 具有连续的一阶导数，则弧微分为：

ds=[x′(t)]2+[y′(t)]2 dt\mathrm{d}s = \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} \, \mathrm{d}t

于是：

∫Lf(x,y) ds=∫αβf[x(t),y(t)]⋅[x′(t)]2+[y′(t)]2 dt\boxed{\int_L f(x, y) \, \mathrm{d}s = \int_{\alpha}^{\beta} f[x(t), y(t)] \cdot \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} \, \mathrm{d}t}

关键提示：定积分的下限 α\alpha 必须小于上限 β\beta（因为弧长 ds\mathrm{d}s 恒为正）。

情形二：曲线由显式方程 y=y(x)y = y(x) 给出

此时可将 xx 视作参数，ds=1+[y′(x)]2 dx\mathrm{d}s = \sqrt{1 + [y'(x)]^2} \, \mathrm{d}x，于是：

∫Lf(x,y) ds=∫abf[x,y(x)]⋅1+[y′(x)]2 dx(a<b)\int_L f(x, y) \, \mathrm{d}s = \int_{a}^{b} f[x, y(x)] \cdot \sqrt{1 + [y'(x)]^2} \, \mathrm{d}x \qquad (a < b)

情形三：空间曲线

若曲线 Γ\Gamma 由参数方程 x=x(t), y=y(t), z=z(t)x = x(t), \, y = y(t), \, z = z(t)（t∈[α,β]t \in [\alpha, \beta]）给出，则：

ds=[x′(t)]2+[y′(t)]2+[z′(t)]2 dt\mathrm{d}s = \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 + [z'(t)]^2} \, \mathrm{d}t

∫Γf(x,y,z) ds=∫αβf[x(t),y(t),z(t)]⋅[x′(t)]2+[y′(t)]2+[z′(t)]2 dt\int_{\Gamma} f(x, y, z) \, \mathrm{d}s = \int_{\alpha}^{\beta} f[x(t), y(t), z(t)] \cdot \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 + [z'(t)]^2} \, \mathrm{d}t

四、例题

例 1　计算 ∫Ly ds\displaystyle \int_L \sqrt{y} \, \mathrm{d}s，其中 LL 是抛物线 y=x2y = x^2 上从点 (0,0)(0, 0) 到点 (1,1)(1, 1) 的那一段弧。

解：曲线由 y=x2y = x^2 给出，x∈[0,1]x \in [0, 1]。

弧微分：ds=1+(2x)2 dx=1+4x2 dx\mathrm{d}s = \sqrt{1 + (2x)^2} \, \mathrm{d}x = \sqrt{1 + 4x^2} \, \mathrm{d}x

被积函数在曲线上：y=x2=∣x∣=x\sqrt{y} = \sqrt{x^2} = |x| = x（因为 x∈[0,1]x \in [0, 1]，x≥0x \ge 0）

于是：

∫Ly ds=∫01x⋅1+4x2 dx\int_L \sqrt{y} \, \mathrm{d}s = \int_{0}^{1} x \cdot \sqrt{1 + 4x^2} \, \mathrm{d}x

令 u=1+4x2u = 1 + 4x^2，则 du=8x dx\mathrm{d}u = 8x \, \mathrm{d}x，即 x dx=18dux \, \mathrm{d}x = \frac{1}{8} \mathrm{d}u。

当 x=0x = 0 时 u=1u = 1；当 x=1x = 1 时 u=5u = 5。

∫01x1+4x2 dx=∫15u⋅18 du=18⋅23u3/2∣15=112(55−1)\int_{0}^{1} x \sqrt{1 + 4x^2} \, \mathrm{d}x = \int_{1}^{5} \sqrt{u} \cdot \frac{1}{8} \, \mathrm{d}u = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} \Big|_{1}^{5} = \frac{1}{12} (5\sqrt{5} - 1)

例 2　计算 ∫L(x2+y2) ds\displaystyle \int_L (x^2 + y^2) \, \mathrm{d}s，其中 LL 为螺旋线 x=acos⁡t, y=asin⁡t, z=btx = a\cos t, \, y = a\sin t, \, z = bt 上 t∈[0,2π]t \in [0, 2\pi] 的一段。

解：

弧微分：ds=(−asin⁡t)2+(acos⁡t)2+b2 dt=a2+b2 dt\mathrm{d}s = \sqrt{(-a\sin t)^2 + (a\cos t)^2 + b^2} \, \mathrm{d}t = \sqrt{a^2 + b^2} \, \mathrm{d}t

被积函数：x2+y2=a2cos⁡2t+a2sin⁡2t=a2x^2 + y^2 = a^2\cos^2 t + a^2\sin^2 t = a^2

∫L(x2+y2) ds=∫02πa2⋅a2+b2 dt=2πa2a2+b2\int_L (x^2 + y^2) \, \mathrm{d}s = \int_{0}^{2\pi} a^2 \cdot \sqrt{a^2 + b^2} \, \mathrm{d}t = 2\pi a^2 \sqrt{a^2 + b^2}

第二节 第一类曲面积分（对面积的曲面积分）

一、从物理问题引入

设想一块空间中的曲面薄壳，各处厚度均匀但材料的面密度 ρ(x,y,z)\rho(x, y, z) 随位置变化。如何求这块曲面薄壳的总质量？

仿照曲线积分的思路，我们将曲面分割为许多小块，每一小块的质量近似为面密度 ×\times 小块面积，再求和取极限，便得到了第一类曲面积分。

二、定义

设曲面 Σ\Sigma 是光滑的，函数 f(x,y,z)f(x, y, z) 在 Σ\Sigma 上有界。将 Σ\Sigma 任意分成 nn 个小片，记第 ii 个小片的面积为 ΔSi\Delta S_i，在该小片上任取一点，作和式 ∑f⋅ΔSi\sum f \cdot \Delta S_i。当各小片的最大直径趋于零时，若和式的极限存在，则称此极限为 ff 在 Σ\Sigma 上的第一类曲面积分（或对面积的曲面积分），记为：

∬Σf(x,y,z) dS\iint_{\Sigma} f(x, y, z) \, \mathrm{d}S

直观理解：dS\mathrm{d}S 是曲面上的面积元素——想象将曲面"摊平"后来看的一小块面积。第一类曲面积分没有方向性，是一个标量。

三、计算方法——投影法

核心思想是将曲面积分转化为二重积分。若曲面 Σ\Sigma 可以由显式方程 z=z(x,y)z = z(x, y)（(x,y)∈Dxy(x, y) \in D_{xy}）表示，则面积元素为：

dS=1+(∂z∂x)2+(∂z∂y)2 dx dy\mathrm{d}S = \sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y

于是：

∬Σf(x,y,z) dS=∬Dxyf[x,y,z(x,y)]⋅1+zx2+zy2 dx dy\boxed{\iint_{\Sigma} f(x, y, z) \, \mathrm{d}S = \iint_{D_{xy}} f[x, y, z(x, y)] \cdot \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y}

类比记忆：注意 dS\mathrm{d}S 的形式与第一类曲线积分中 ds=1+(y′)2 dx\mathrm{d}s = \sqrt{1 + (y')^2} \, \mathrm{d}x 非常相似——曲线是一维的，所以根号里只有一项导数平方；曲面是二维的，所以根号里有两项偏导数平方。

如果曲面投影到 xOzxOz 面或 yOzyOz 面上更方便，则需分别将曲面表示为 y=y(x,z)y = y(x, z) 或 x=x(y,z)x = x(y, z)，此时：

dS=1+yx2+yz2 dx dz,dS=1+xy2+xz2 dy dz\mathrm{d}S = \sqrt{1 + y_x^2 + y_z^2} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}z, \qquad \mathrm{d}S = \sqrt{1 + x_y^2 + x_z^2} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z

四、例题

例 1　计算 ∬Σz dS\displaystyle \iint_{\Sigma} z \, \mathrm{d}S，其中 Σ\Sigma 为上半球面 z=a2−x2−y2z = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}。

解：投影区域 DxyD_{xy} 为圆盘 x2+y2≤a2x^2 + y^2 \le a^2。

先求偏导数：

zx=−xa2−x2−y2=−xz,zy=−ya2−x2−y2=−yzz_x = \frac{-x}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}} = -\frac{x}{z}, \qquad z_y = \frac{-y}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}} = -\frac{y}{z}

于是：

dS=1+x2z2+y2z2 dx dy=z2+x2+y2z2 dx dy=az dx dy\mathrm{d}S = \sqrt{1 + \frac{x^2}{z^2} + \frac{y^2}{z^2}} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \sqrt{\frac{z^2 + x^2 + y^2}{z^2}} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \frac{a}{z} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y

（注意 x2+y2+z2=a2x^2 + y^2 + z^2 = a^2）

∬Σz dS=∬Dxyz⋅az dx dy=a∬Dxydx dy=a⋅πa2=πa3\iint_{\Sigma} z \, \mathrm{d}S = \iint_{D_{xy}} z \cdot \frac{a}{z} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = a \iint_{D_{xy}} \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = a \cdot \pi a^2 = \pi a^3

几何解释：∬Dxydx dy\iint_{D_{xy}} \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y 就是投影区域（圆盘）的面积 πa2\pi a^2。

第三节 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）

一、从物理问题引入——变力沿曲线做功

设一个质点在力场 F⃗(x,y)=P(x,y) i⃗+Q(x,y) j⃗\vec{F}(x, y) = P(x, y)\,\vec{i} + Q(x, y)\,\vec{j} 的作用下，沿着曲线 LL 从起点 AA 移动到终点 BB。力 F⃗\vec{F} 的大小和方向随位置不断变化，如何计算力场所做的总功？

回忆高中物理：恒力 F⃗\vec{F} 使物体产生位移 s⃗\vec{s} 时，做功为 W=F⃗⋅s⃗W = \vec{F} \cdot \vec{s}（点积）。现在，我们将曲线分割为许多微小的有向弧段 dr⃗=(dx,dy)\mathrm{d}\vec{r} = (\mathrm{d}x, \mathrm{d}y)，每一小段上的功近似为 F⃗⋅dr⃗=P dx+Q dy\vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{r} = P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y，然后沿曲线积分：

W=∫LP(x,y) dx+Q(x,y) dyW = \int_L P(x, y) \, \mathrm{d}x + Q(x, y) \, \mathrm{d}y

这就是第二类曲线积分的物理背景。

二、定义

设 LL 为 xOyxOy 面内一条有向光滑曲线弧段，函数 P(x,y),Q(x,y)P(x, y), Q(x, y) 在 LL 上有界。则沿有向曲线 LL 的第二类曲线积分（或对坐标的曲线积分）定义为：

∫LP(x,y) dx+Q(x,y) dy=lim⁡λ→0∑i=1n[P(ξi,ηi)Δxi+Q(ξi,ηi)Δyi]\int_L P(x, y) \, \mathrm{d}x + Q(x, y) \, \mathrm{d}y = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} \left[ P(\xi_i, \eta_i) \Delta x_i + Q(\xi_i, \eta_i) \Delta y_i \right]

本质区别：与第一类曲线积分不同，第二类曲线积分依赖于曲线的方向。若将积分路径反向，则积分值变号：

∫−LP dx+Q dy=−∫LP dx+Q dy\int_{-L} P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y = -\int_{L} P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y

对于空间有向曲线 Γ\Gamma，类似可定义：

∫ΓP dx+Q dy+R dz\int_{\Gamma} P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y + R \, \mathrm{d}z

三、计算方法

方法一：参数化法（基本方法）

若曲线 LL 的参数方程为 x=x(t), y=y(t)x = x(t), \, y = y(t)，且起点 AA 对应 t=αt = \alpha，终点 BB 对应 t=βt = \beta（注意：α\alpha 不一定小于 β\beta，必须按有向曲线的方向来确定上下限），则：

∫LP dx+Q dy=∫αβ[P(x(t),y(t))⋅x′(t)+Q(x(t),y(t))⋅y′(t)]dt\boxed{\int_L P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y = \int_{\alpha}^{\beta} \left[ P(x(t), y(t)) \cdot x'(t) + Q(x(t), y(t)) \cdot y'(t) \right] \mathrm{d}t}

关键提示：上限 β\beta 对应的是终点所对应的参数值，下限 α\alpha 对应起点的参数值。这与第一类曲线积分中"下限必须小于上限"有本质区别！

方法二：格林公式法（见第八章第四节）

当积分路径为闭曲线时，可借助格林公式将曲线积分转化为二重积分。

四、两类曲线积分的关系

设有向曲线 LL 在点 (x,y)(x, y) 处的切向量的方向余弦为 cos⁡α,cos⁡β\cos\alpha, \cos\beta，则有：

∫LP dx+Q dy=∫L(Pcos⁡α+Qcos⁡β) ds\int_L P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y = \int_L (P \cos\alpha + Q \cos\beta) \, \mathrm{d}s

五、例题

例 1　计算 ∫L2xy dx+x2 dy\displaystyle \int_L 2xy \, \mathrm{d}x + x^2 \, \mathrm{d}y，其中 LL 为抛物线 y=x2y = x^2 上从 (0,0)(0, 0) 到 (1,1)(1, 1) 的一段。

解：取 xx 为参数，y=x2y = x^2。起点 x=0x = 0，终点 x=1x = 1。

dx=dx\mathrm{d}x = \mathrm{d}x，dy=2x dx\mathrm{d}y = 2x \, \mathrm{d}x

∫L2xy dx+x2 dy=∫01[2x⋅x2+x2⋅2x]dx=∫014x3 dx=x4∣01=1\begin{aligned} \int_L 2xy \, \mathrm{d}x + x^2 \, \mathrm{d}y &= \int_0^1 \left[ 2x \cdot x^2 + x^2 \cdot 2x \right] \mathrm{d}x \\ &= \int_0^1 4x^3 \, \mathrm{d}x = x^4 \Big|_0^1 = 1 \end{aligned}

例 2（反向路径）　计算同上的积分，但路径改为从 (1,1)(1, 1) 到 (0,0)(0, 0)。

解：此时 xx 从 11 到 00（反向）。

∫104x3 dx=x4∣10=0−1=−1\int_1^0 4x^3 \, \mathrm{d}x = x^4 \Big|_1^0 = 0 - 1 = -1

由此可见，方向反转后积分值恰好变为相反数。

第四节 格林公式（Green’s Formula）

一、公式的直观理解

格林公式是本章最重要的定理之一。它揭示了平面闭曲线上的曲线积分与该闭曲线所围区域上的二重积分之间的联系——这是牛顿-莱布尼茨公式（即定积分中原函数在端点的差等于导函数在区间的积分）向二维空间的推广。

  • 牛顿-莱布尼茨公式：∫abF′(x) dx=F(b)−F(a)\displaystyle \int_a^b F'(x) \, \mathrm{d}x = F(b) - F(a)——区间端点的函数值之差 = 区间内导数的积分
  • 格林公式：闭曲线上的曲线积分 = 区域内的二重积分

二、定理陈述

设闭区域 DD 由分段光滑的曲线 LL 围成，函数 P(x,y)P(x, y) 和 Q(x,y)Q(x, y) 在 DD 上具有一阶连续偏导数，则有：

∮LP dx+Q dy=∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dx dy\boxed{\oint_L P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y}

其中 LL 是区域 DD 的正向边界曲线。所谓"正向"，是指沿 LL 行走时，区域 DD 始终在左手边——对于单连通区域，这意味着外边界取逆时针方向，内边界（洞的边界）取顺时针方向。

三、公式的物理含义

格林公式有一个极其优美的物理解释。考虑一个平面流速场 v⃗=(P,Q)\vec{v} = (P, Q)。则：

  • ∂Q∂x−∂P∂y\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} 正是该流场在每一点的旋度（在二维情况下的表现），它衡量了流体在该点"旋转"的强度。
  • ∮LP dx+Q dy\displaystyle \oint_L P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y 则是流体沿闭曲线 LL 的环流。

格林公式表明：沿闭曲线的环流 = 区域内各处旋度的总和。这一思想在后面的斯托克斯公式中会进一步推广到三维空间。

四、格林公式的重要推论

推论 1：区域面积的计算

在格林公式中分别取 P=−y, Q=xP = -y, \, Q = x，或 P=0, Q=xP = 0, \, Q = x，或 P=−y, Q=0P = -y, \, Q = 0，可得用曲线积分计算平面区域面积的公式：

A=12∮Lx dy−y dx=∮Lx dy=−∮Ly dxA = \frac{1}{2} \oint_L x \, \mathrm{d}y - y \, \mathrm{d}x = \oint_L x \, \mathrm{d}y = -\oint_L y \, \mathrm{d}x

推论 2：曲线积分与路径无关的条件

设 DD 为单连通区域，P,QP, Q 在 DD 内具有一阶连续偏导数，则以下四个命题等价：

  1. 对于 DD 内任意分段光滑闭曲线 LL，∮LP dx+Q dy=0\displaystyle \oint_L P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y = 0；
  2. 曲线积分 ∫LP dx+Q dy\displaystyle \int_L P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y 在 DD 内与路径无关（只依赖起点和终点）；
  3. 在 DD 内恒有 ∂Q∂x=∂P∂y\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}；
  4. 存在函数 u(x,y)u(x, y)（称为势函数或原函数），使得 du=P dx+Q dy\mathrm{d}u = P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y，即 ∂u∂x=P,∂u∂y=Q\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = P, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = Q。

这是本章中极具实用价值的结论。当条件满足时，我们可以选择最简单的积分路径（如平行于坐标轴的折线）来计算曲线积分，从而大幅简化运算。

五、例题

例 1　利用格林公式计算 ∮L(x2y) dx+(y3−xy2) dy\displaystyle \oint_L (x^2y) \, \mathrm{d}x + (y^3 - xy^2) \, \mathrm{d}y，其中 LL 是由 y=x2y = x^2 和 y2=xy^2 = x 所围成区域的正向边界。

解：这里 P=x2yP = x^2y，Q=y3−xy2Q = y^3 - xy^2。

∂Q∂x=−y2,∂P∂y=x2\frac{\partial Q}{\partial x} = -y^2, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = x^2

∂Q∂x−∂P∂y=−y2−x2=−(x2+y2)\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = -y^2 - x^2 = -(x^2 + y^2)

两曲线交点：y=x2y = x^2 与 y2=xy^2 = x 联立，得 x4=xx^4 = x，x(x3−1)=0x(x^3 - 1) = 0，故 x=0x = 0 或 x=1x = 1。区域 DD：x∈[0,1]x \in [0, 1]，x2≤y≤xx^2 \le y \le \sqrt{x}。

由格林公式：

∮LP dx+Q dy=∬D−(x2+y2) dx dy=−∫01dx∫x2x(x2+y2) dy\begin{aligned} \oint_L P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y &= \iint_D -(x^2 + y^2) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \\ &= -\int_0^1 \mathrm{d}x \int_{x^2}^{\sqrt{x}} (x^2 + y^2) \, \mathrm{d}y \end{aligned}

先算内层积分：

∫x2x(x2+y2) dy=[x2y+y33]y=x2y=x=x2x+x3/23−x4−x63\int_{x^2}^{\sqrt{x}} (x^2 + y^2) \, \mathrm{d}y = \left[ x^2 y + \frac{y^3}{3} \right]_{y=x^2}^{y=\sqrt{x}} = x^2\sqrt{x} + \frac{x^{3/2}}{3} - x^4 - \frac{x^6}{3}

再对 xx 积分（此处略去中间计算细节）：

=−∫01(43x5/2−x4−x63)dx=−[43⋅27x7/2−x55−x721]01= -\int_0^1 \left( \frac{4}{3} x^{5/2} - x^4 - \frac{x^6}{3} \right) \mathrm{d}x = -\left[ \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{7} x^{7/2} - \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{21} \right]_0^1

=−(821−15−121)=−(721−15)=−(13−15)=−215= -\left( \frac{8}{21} - \frac{1}{5} - \frac{1}{21} \right) = -\left( \frac{7}{21} - \frac{1}{5} \right) = -\left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) = -\frac{2}{15}

例 2（曲线积分与路径无关）　计算 ∫L(2xy+3x2) dx+(x2+4y3) dy\displaystyle \int_L (2xy + 3x^2) \, \mathrm{d}x + (x^2 + 4y^3) \, \mathrm{d}y，其中 LL 为从 (0,0)(0, 0) 到 (1,2)(1, 2) 的任意路径。

解：检查条件：P=2xy+3x2P = 2xy + 3x^2，Q=x2+4y3Q = x^2 + 4y^3。

∂P∂y=2x,∂Q∂x=2x\frac{\partial P}{\partial y} = 2x, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x

由于 ∂P∂y=∂Q∂x\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} 在整个平面上成立，故积分与路径无关。选择折线路径 (0,0)→(1,0)→(1,2)(0, 0) \to (1, 0) \to (1, 2)：

  • 在 (0,0)→(1,0)(0, 0) \to (1, 0) 上：y=0, dy=0y = 0, \, \mathrm{d}y = 0，积分 =∫01(0+3x2) dx=1= \int_0^1 (0 + 3x^2) \, \mathrm{d}x = 1
  • 在 (1,0)→(1,2)(1, 0) \to (1, 2) 上：x=1, dx=0x = 1, \, \mathrm{d}x = 0，积分 =∫02(1+4y3) dy=[y+y4]02=2+16=18= \int_0^2 (1 + 4y^3) \, \mathrm{d}y = \left[ y + y^4 \right]_0^2 = 2 + 16 = 18

总积分 =1+18=19= 1 + 18 = 19。

第五节 第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）

一、从物理问题引入——流量问题

设空间某区域内有流体流动，流速场为 v⃗=(P,Q,R)\vec{v} = (P, Q, R)。在流场中放置一块有向曲面 Σ\Sigma（即指定了法向量方向的曲面），我们想求单位时间内通过该曲面的流体体积——即流量（或通量）。

直观上，只有与曲面垂直的速度分量才会使流体"穿过"曲面。若曲面在一点处的单位法向量为 n⃗=(cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ)\vec{n} = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)，则该点处穿过曲面微元 dS\mathrm{d}S 的流量近似为 v⃗⋅n⃗ dS\vec{v} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}S。将所有微元累加即得总流量，这引出了第二类曲面积分。

二、定义

设 Σ\Sigma 为光滑的有向曲面，函数 P,Q,RP, Q, R 在 Σ\Sigma 上有界。则第二类曲面积分（或对坐标的曲面积分）定义为：

∬ΣP dy dz+Q dz dx+R dx dy\iint_{\Sigma} P \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z + Q \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x + R \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y

其中 dy dz, dz dx, dx dy\mathrm{d}y \, \mathrm{d}z, \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x, \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y 分别为有向曲面微元在 yOzyOz、zOxzOx、xOyxOy 坐标面上的有向投影面积。

直观理解：

  • dx dy\mathrm{d}x \, \mathrm{d}y 可理解为曲面微元 dS\mathrm{d}S 在 xOyxOy 面上的有向投影面积：若法向量指向上方（与 zz 轴夹角为锐角），投影为正；指向下方则为负。
  • 类似地，dy dz\mathrm{d}y \, \mathrm{d}z 是曲面微元在 yOzyOz 面上的有向投影，dz dx\mathrm{d}z \, \mathrm{d}x 是在 zOxzOx 面上的有向投影。

由定义可知，积分 ∬ΣR dx dy\iint_{\Sigma} R \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y 可以理解为将 RR 视为某种"面密度"，只在 xOyxOy 面上的有向投影上积分。对于 P dy dzP \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z 和 Q dz dxQ \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x 也是同样的道理。

三、计算方法

以计算 ∬ΣR(x,y,z) dx dy\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y 为例——

将曲面 Σ\Sigma 表示为 z=z(x,y)z = z(x, y)（(x,y)∈Dxy(x, y) \in D_{xy}），则：

∬ΣR(x,y,z) dx dy=±∬DxyR[x,y,z(x,y)] dx dy\boxed{\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \pm \iint_{D_{xy}} R[x, y, z(x, y)] \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y}

其中符号取法为：若 Σ\Sigma 取上侧（法向量与 zz 轴正向夹角为锐角），取 ++；若取下侧，取 −-。

重要：对于 ∬ΣP dy dz\iint_{\Sigma} P \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z，需将曲面投影到 yOzyOz 面上（即表示为 x=x(y,z)x = x(y, z)），正负号取决于曲面取前侧还是后侧（法向量与 xx 轴正向的关系）。

对于 ∬ΣQ dz dx\iint_{\Sigma} Q \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x，则需将曲面投影到 zOxzOx 面上，正负号取决于曲面取右侧还是左侧。

四、两类曲面积分的关系

∬ΣP dy dz+Q dz dx+R dx dy=∬Σ(Pcos⁡α+Qcos⁡β+Rcos⁡γ) dS\iint_{\Sigma} P \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z + Q \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x + R \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \iint_{\Sigma} (P \cos\alpha + Q \cos\beta + R \cos\gamma) \, \mathrm{d}S

其中 cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma 为 Σ\Sigma 指定一侧的单位法向量的方向余弦。这个公式可以看作第二类曲面积分（左边的"坐标形式"）转化为第一类曲面积分（右边的"数量形式"）的桥梁；反过来也有 dx dy=cos⁡γ dS\mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \cos\gamma \, \mathrm{d}S 等关系，用于实际计算中切换视角。

五、例题

例 1　计算 ∬Σxyz dx dy\displaystyle \iint_{\Sigma} xyz \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y，其中 Σ\Sigma 为球面 x2+y2+z2=1x^2 + y^2 + z^2 = 1 的外侧在 x≥0, y≥0x \ge 0, \, y \ge 0 的部分。

解：将此部分球面分为上侧（z=1−x2−y2z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}，法向量与 zz 轴成锐角——实际上取外法向时在上半球就是上侧）和下侧（z=−1−x2−y2z = -\sqrt{1 - x^2 - y^2}，外法向在下半球指向下方，故为下侧）。

上半部分：Σ1\Sigma_1（上侧），z=1−x2−y2z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}，投影区域 DxyD_{xy} 为单位圆在第一象限的部分，符号为正。

下半部分：Σ2\Sigma_2（下侧），z=−1−x2−y2z = -\sqrt{1 - x^2 - y^2}，符号为负。

∬Σxyz dx dy=∬Σ1xyz dx dy+∬Σ2xyz dx dy=+∬Dxyxy1−x2−y2 dx dy  +  (−∬Dxyxy(−1−x2−y2) dx dy)=∬Dxyxy1−x2−y2 dx dy+∬Dxyxy1−x2−y2 dx dy=2∬Dxyxy1−x2−y2 dx dy\begin{aligned} \iint_{\Sigma} xyz \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y &= \iint_{\Sigma_1} xyz \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y + \iint_{\Sigma_2} xyz \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \\ &= +\iint_{D_{xy}} xy \sqrt{1 - x^2 - y^2} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \;+\; \left(-\iint_{D_{xy}} xy (-\sqrt{1 - x^2 - y^2}) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y\right) \\ &= \iint_{D_{xy}} xy \sqrt{1 - x^2 - y^2} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y + \iint_{D_{xy}} xy \sqrt{1 - x^2 - y^2} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \\ &= 2 \iint_{D_{xy}} xy \sqrt{1 - x^2 - y^2} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \end{aligned}

化为极坐标 x=rcos⁡θ, y=rsin⁡θx = r\cos\theta, \, y = r\sin\theta，DxyD_{xy}：0≤r≤1, 0≤θ≤π20 \le r \le 1, \, 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}。

=2∫0π/2cos⁡θsin⁡θ dθ∫01r2⋅r1−r2 dr= 2 \int_0^{\pi/2} \cos\theta \sin\theta \, \mathrm{d}\theta \int_0^1 r^2 \cdot r \sqrt{1 - r^2} \, \mathrm{d}r

其中 ∫0π/2cos⁡θsin⁡θ dθ=12\int_0^{\pi/2} \cos\theta \sin\theta \, \mathrm{d}\theta = \frac{1}{2}。

对 rr 的积分：∫01r31−r2 dr\int_0^1 r^3 \sqrt{1 - r^2} \, \mathrm{d}r。令 u=1−r2u = 1 - r^2，du=−2r dr\mathrm{d}u = -2r \, \mathrm{d}r，r2=1−ur^2 = 1 - u，则 r3 dr=r2⋅r dr=(1−u)⋅(−12du)=−12(1−u) dur^3 \, \mathrm{d}r = r^2 \cdot r \, \mathrm{d}r = (1 - u) \cdot (-\frac{1}{2} \mathrm{d}u) = -\frac{1}{2}(1 - u) \, \mathrm{d}u。

当 r=0r = 0 时 u=1u = 1，r=1r = 1 时 u=0u = 0。

∫01r31−r2 dr=∫10u⋅(−12(1−u))du=12∫01(u1/2−u3/2) du\int_0^1 r^3 \sqrt{1 - r^2} \, \mathrm{d}r = \int_1^0 \sqrt{u} \cdot \left(-\frac{1}{2}(1 - u)\right) \mathrm{d}u = \frac{1}{2} \int_0^1 (u^{1/2} - u^{3/2}) \, \mathrm{d}u

=12[23u3/2−25u5/2]01=12(23−25)=12⋅415=215= \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} - \frac{2}{5} u^{5/2} \right]_0^1 = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{3} - \frac{2}{5} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{15} = \frac{2}{15}

最终：2×12×215=2152 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{15} = \frac{2}{15}。

第六节 高斯公式（Gauss’s Formula）与散度

一、高斯公式

格林公式将平面闭曲线上的线积分转化为区域上的面积分，而高斯公式则将空间闭曲面上的曲面积分转化为三维区域上的三重积分——这是格林公式向三维空间的自然推广。

定理（高斯公式 / 散度定理）：设空间闭区域 Ω\Omega 由分片光滑的闭曲面 Σ\Sigma 围成，函数 P,Q,RP, Q, R 在 Ω\Omega 上具有一阶连续偏导数，则有：

∯ΣP dy dz+Q dz dx+R dx dy=∭Ω(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dx dy dz\boxed{\oiint_{\Sigma} P \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z + Q \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x + R \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \iiint_{\Omega} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z}

其中 Σ\Sigma 取外侧。

记忆技巧：曲面积分的被积项 P dy dzP \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z 中缺少哪个坐标变量（这里是 xx），则三重积分中就对 PP 关于该变量（xx）求偏导。同理：

  • Q dz dxQ \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x → ∂Q∂y\frac{\partial Q}{\partial y}（缺 yy）
  • R dx dyR \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y → ∂R∂z\frac{\partial R}{\partial z}（缺 zz）

二、散度的概念

在高斯公式中，三重积分的被积函数 ∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} 称为向量场 F⃗=(P,Q,R)\vec{F} = (P, Q, R) 的散度，记为 div⁡F⃗\operatorname{div} \vec{F} 或 ∇⋅F⃗\nabla \cdot \vec{F}：

div⁡F⃗=∇⋅F⃗=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z\operatorname{div} \vec{F} = \nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}

散度的物理意义：散度衡量的是向量场在一点处"发散"或"汇聚"的强度。

  • 若 div⁡F⃗>0\operatorname{div} \vec{F} > 0，表示该点是"源"——流体从此点向外流出；
  • 若 div⁡F⃗<0\operatorname{div} \vec{F} < 0，表示该点是"汇"——流体向此点汇聚；
  • 若 div⁡F⃗=0\operatorname{div} \vec{F} = 0，则该向量场称为无源场（或管量场），流体在该点既无源也无汇。

于是，高斯公式可以用散度简洁地写成：

∯ΣF⃗⋅n⃗ dS=∭Ωdiv⁡F⃗ dV\oiint_{\Sigma} \vec{F} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}S = \iiint_{\Omega} \operatorname{div} \vec{F} \, \mathrm{d}V

该式的物理意义是：通过闭曲面的净流出量 = 区域内部所有源和汇的代数和。

三、例题

例 1　利用高斯公式计算 ∯Σx3 dy dz+y3 dz dx+z3 dx dy\displaystyle \oiint_{\Sigma} x^3 \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z + y^3 \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x + z^3 \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y，其中 Σ\Sigma 为球面 x2+y2+z2=a2x^2 + y^2 + z^2 = a^2 的外侧。

解：P=x3P = x^3，Q=y3Q = y^3，R=z3R = z^3。

∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z=3x2+3y2+3z2=3(x2+y2+z2)\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 = 3(x^2 + y^2 + z^2)

由高斯公式：

∯Σ=∭Ω3(x2+y2+z2) dV\oiint_{\Sigma} = \iiint_{\Omega} 3(x^2 + y^2 + z^2) \, \mathrm{d}V

用球坐标：x=ρsin⁡φcos⁡θ, y=ρsin⁡φsin⁡θ, z=ρcos⁡φx = \rho \sin\varphi \cos\theta, \, y = \rho \sin\varphi \sin\theta, \, z = \rho \cos\varphi，dV=ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\mathrm{d}V = \rho^2 \sin\varphi \, \mathrm{d}\rho \, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}\theta，x2+y2+z2=ρ2x^2 + y^2 + z^2 = \rho^2。

∭Ω3ρ2 dV=3∫02πdθ∫0πsin⁡φ dφ∫0aρ4 dρ=3⋅2π⋅2⋅a55=12πa55\begin{aligned} \iiint_{\Omega} 3\rho^2 \, \mathrm{d}V &= 3 \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^{\pi} \sin\varphi \, \mathrm{d}\varphi \int_0^a \rho^4 \, \mathrm{d}\rho \\ &= 3 \cdot 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{a^5}{5} = \frac{12\pi a^5}{5} \end{aligned}

第七节 斯托克斯公式（Stokes’ Formula）与旋度

一、斯托克斯公式

格林公式将平面闭曲线上的曲线积分与曲面区域上的二重积分联系了起来。斯托克斯公式则将这一思想推广到空间：它将空间闭曲线上的曲线积分与以该曲线为边界的曲面上的曲面积分联系起来。

定理（斯托克斯公式）：设 Γ\Gamma 为分段光滑的空间有向闭曲线，Σ\Sigma 是以 Γ\Gamma 为边界的分片光滑有向曲面，Γ\Gamma 的正向与 Σ\Sigma 的指定侧符合右手法则（右手握住曲面法向量，四指指向 Γ\Gamma 的正向），函数 P,Q,RP, Q, R 在包含 Σ\Sigma 的空间区域内具有一阶连续偏导数，则有：

∮ΓP dx+Q dy+R dz=∬Σ∣dy dzdz dxdx dy∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣\boxed{\oint_{\Gamma} P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y + R \, \mathrm{d}z = \iint_{\Sigma} \begin{vmatrix} \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z & \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x & \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}}

展开行列式，得：

∮ΓP dx+Q dy+R dz=∬Σ(∂R∂y−∂Q∂z)dy dz+(∂P∂z−∂R∂x)dz dx+(∂Q∂x−∂P∂y)dx dy\oint_{\Gamma} P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y + R \, \mathrm{d}z = \iint_{\Sigma} \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y

记忆技巧：斯托克斯公式右端的形式非常有规律——每一项的被积函数都对应着一个"轮换对"的偏导数差：

  • dy dz\mathrm{d}y \, \mathrm{d}z 对应 ∂R∂y−∂Q∂z\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}（不含 xx 的偏导，含 y,zy, z 的组合）
  • dz dx\mathrm{d}z \, \mathrm{d}x 对应 ∂P∂z−∂R∂x\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}
  • dx dy\mathrm{d}x \, \mathrm{d}y 对应 ∂Q∂x−∂P∂y\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}

请留意中间这一项的符号：dz dx\mathrm{d}z \, \mathrm{d}x 的系数是 ∂P∂z−∂R∂x\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}，与另外两项保持"循环递增"的规律：对谁求偏导就对应坐标循环的下一个字母——Rz−QyR_z - Q_y（后面的减前面的）、Px−RzP_x - R_z（但交换位置）、Qy−PxQ_y - P_x，实际上更可靠的记忆法是行列式展开。

二、旋度的概念

在斯托克斯公式右端的曲面积分中，被积函数的三个分量恰好构成了向量场 F⃗=(P,Q,R)\vec{F} = (P, Q, R) 的旋度 curl⁡F⃗\operatorname{curl} \vec{F}（或记作 ∇×F⃗\nabla \times \vec{F}，即 rot⁡F⃗\operatorname{rot} \vec{F}）：

curl⁡F⃗=∇×F⃗=∣i⃗j⃗k⃗∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣=(∂R∂y−∂Q∂z)i⃗+(∂P∂z−∂R∂x)j⃗+(∂Q∂x−∂P∂y)k⃗\operatorname{curl} \vec{F} = \nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) \vec{i} + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) \vec{j} + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \vec{k}

旋度的物理意义：旋度衡量的是向量场在一点附近旋转的强度和方向。想象一片树叶漂浮在水面上：如果水流有旋转的趋势，树叶就会打转。旋度向量指向旋转轴的方向（由右手定则确定），其大小正比于旋转的角速度。

  • 若 curl⁡F⃗=0⃗\operatorname{curl} \vec{F} = \vec{0}，则该向量场称为无旋场；
  • 在实际应用中，静电场是无旋场（保守场），而磁场则不是。

使用旋度记号，斯托克斯公式可优美地写为：

∮ΓF⃗⋅dr⃗=∬Σ(∇×F⃗)⋅n⃗ dS\oint_{\Gamma} \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{r} = \iint_{\Sigma} (\nabla \times \vec{F}) \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}S

该式的物理意义是：沿闭曲线的环流 = 曲面上各处旋度的通量。这恰好与格林公式的物理含义一脉相承，只是从二维推广到了三维。

三、斯托克斯公式的推论——空间曲线积分与路径无关的条件

设 Ω\Omega 为一维单连通区域（即 Ω\Omega 内任意闭曲线都能在 Ω\Omega 内连续收缩为一点——形象地说就是"没有洞穿的那种洞"的空间区域），P,Q,RP, Q, R 在 Ω\Omega 内具有一阶连续偏导数，则空间曲线积分与路径无关的充要条件是旋度处处为零：

curl⁡F⃗=0⃗即∂R∂y=∂Q∂z,∂P∂z=∂R∂x,∂Q∂x=∂P∂y\operatorname{curl} \vec{F} = \vec{0} \quad \text{即} \quad \frac{\partial R}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial z}, \quad \frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial x}, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}

空间维度统一理解：

维度 边界上积分 内部积分 联系二者的公式
一维 端点处的函数值 区间内导数的定积分 牛顿-莱布尼茨公式
二维 闭曲线上的曲线积分 区域内二重积分 格林公式
三维 闭曲面上的曲面积分 区域内三重积分 高斯公式
二维↔三维 空间闭曲线上的曲线积分 曲面上曲面积分 斯托克斯公式

这些公式的共同本质是：“边界上的总量 = 内部各点变化率之和”——这是微积分学中最深刻、最优美的思想之一。

四、例题

例 1　利用斯托克斯公式计算 ∮Γy dx+z dy+x dz\displaystyle \oint_{\Gamma} y \, \mathrm{d}x + z \, \mathrm{d}y + x \, \mathrm{d}z，其中 Γ\Gamma 为平面 x+y+z=1x + y + z = 1 被三个坐标面截得的三角形的边界，从 zz 轴正向看去取逆时针方向。

解：P=yP = y，Q=zQ = z，R=xR = x。

∂R∂y−∂Q∂z=0−1=−1\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} = 0 - 1 = -1

∂P∂z−∂R∂x=0−1=−1\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} = 0 - 1 = -1

∂Q∂x−∂P∂y=0−1=−1\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0 - 1 = -1

取 Σ\Sigma 为该三角形区域（上侧），法向量 n⃗=13(1,1,1)\vec{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)。

由斯托克斯公式：

∮Γ=∬Σ(−1) dy dz+(−1) dz dx+(−1) dx dy\oint_{\Gamma} = \iint_{\Sigma} (-1) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z + (-1) \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x + (-1) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y

利用两类曲面积分的关系和 cos⁡α=cos⁡β=cos⁡γ=13\cos\alpha = \cos\beta = \cos\gamma = \frac{1}{\sqrt{3}}，以及 dy dz=cos⁡α dS=13dS\mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \cos\alpha \, \mathrm{d}S = \frac{1}{\sqrt{3}} \mathrm{d}S 等：

∬Σ(−1)(dy dz+dz dx+dx dy)=−∬Σ(13+13+13)dS=−3∬ΣdS=−3⋅(三角形的面积)\begin{aligned} \iint_{\Sigma} (-1)(\mathrm{d}y \, \mathrm{d}z + \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x + \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y) &= - \iint_{\Sigma} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) \mathrm{d}S \\ &= -\sqrt{3} \iint_{\Sigma} \mathrm{d}S = -\sqrt{3} \cdot (\text{三角形的面积}) \end{aligned}

该三角形位于平面 x+y+z=1x + y + z = 1 上，三个顶点为 (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)。三条边长均为 2\sqrt{2}，为正三角形，面积为 32\frac{\sqrt{3}}{2}。

故积分为 −3×32=−32-\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3}{2}。

第九章 无穷级数

无穷级数的本质是用无穷多个数的和来表示一个数，或者用无穷多个函数的和来表示一个函数。你可能会问："无穷多个数加起来不会变成无穷大吗？"这恰恰是本章要回答的第一个问题。级数理论研究的就是：无穷和何时收敛？收敛到什么值？以及如何用简单的函数（幂函数、三角函数）去逼近复杂的函数。

第一节 常数项级数的概念与基本性质

一、基本概念

定义：给定一个数列 {un}n=1∞\{u_n\}_{n=1}^{\infty}，将各项依次用加号连接：

∑n=1∞un=u1+u2+u3+⋯+un+⋯\sum_{n=1}^{\infty} u_n = u_1 + u_2 + u_3 + \cdots + u_n + \cdots

称为无穷级数（简称级数）。unu_n 称为级数的一般项（或通项）。

部分和：前 nn 项的和 Sn=u1+u2+⋯+un=∑k=1nukS_n = u_1 + u_2 + \cdots + u_n = \sum_{k=1}^{n} u_k 称为级数的第 nn 部分和。

收敛与发散：若部分和数列 {Sn}\{S_n\} 存在有限极限 lim⁡n→∞Sn=S\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n = S，则称级数收敛，并称 SS 为级数的和，记为 ∑n=1∞un=S\sum_{n=1}^{\infty} u_n = S；若 {Sn}\{S_n\} 的极限不存在（趋于无穷或振荡），则称级数发散。

关键认识：研究级数敛散性的核心工具，就是其部分和数列的极限。当我们说"判断一个级数是否收敛"，就是在问"这个级数的部分和数列有没有极限"。

二、基本性质

  1. 线性性质：若 ∑un=S\sum u_n = S，∑vn=T\sum v_n = T，则 ∑(aun+bvn)=aS+bT\sum (au_n + bv_n) = aS + bT（仅当两级数均收敛时成立）。
  2. 去掉或添加有限项，不改变级数的敛散性（但收敛时和会改变）。
  3. 加括号：收敛级数任意加括号后仍收敛，且和不变。反之不成立（发散级数加括号后可能收敛，如 1−1+1−1+⋯1 - 1 + 1 - 1 + \cdots 加上括号 (1−1)+(1−1)+⋯=0(1-1) + (1-1) + \cdots = 0 就"收敛"了，但原级数发散）。
  4. 收敛的必要条件：若级数 ∑un\sum u_n 收敛，则 lim⁡n→∞un=0\displaystyle \lim_{n \to \infty} u_n = 0。

注意：条件 4 是必要的而非充分的。例如调和级数 ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} 的通项 1n→0\frac{1}{n} \to 0，但级数本身发散！所以 lim⁡un=0\lim u_n = 0 不能保证收敛，但若 lim⁡un≠0\lim u_n \neq 0（或不存在），则级数必定发散——这是快速排除发散的常用方法。

三、两类重要的参考级数

在判断级数敛散性时，一般以两个常用的级数作为基准：

（1）几何级数（等比级数）

∑n=0∞aqn=a+aq+aq2+⋯\sum_{n=0}^{\infty} aq^n = a + aq + aq^2 + \cdots

  • 当 ∣q∣<1|q| < 1 时，级数收敛，和为 a1−q\displaystyle \frac{a}{1 - q}；
  • 当 ∣q∣≥1|q| \ge 1 时（且 a≠0a \neq 0），级数发散。

（2）pp-级数

∑n=1∞1np=1+12p+13p+⋯\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} = 1 + \frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} + \cdots

  • 当 p>1p > 1 时，级数收敛；
  • 当 p≤1p \le 1 时，级数发散。

特别地，当 p=1p = 1 时（即调和级数 ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}）发散；当 p=2p = 2 时 ∑n=1∞1n2=π26\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}收敛。

第二节 正项级数及其审敛法

一、正项级数的特点

若级数 ∑un\sum u_n 的每一项 un≥0u_n \ge 0，则称其为正项级数。正项级数有一个极好的性质：其部分和数列 {Sn}\{S_n\} 是单调递增的。由单调有界原理可知：正项级数收敛的充要条件是部分和数列有上界。

基于这一事实，正项级数的审敛法大多通过将未知级数与已知敛散性的级数进行比较来得出结论。

二、审敛法

（1）比较审敛法

设 ∑un\sum u_n 和 ∑vn\sum v_n 均为正项级数，且 un≤vnu_n \le v_n（对充分大的 nn 成立）。

  • 若 ∑vn\sum v_n 收敛，则 ∑un\sum u_n 收敛（“比收敛的级数还小，自然也收敛”）；
  • 若 ∑un\sum u_n 发散，则 ∑vn\sum v_n 发散（“比发散的级数还大，必然发散”）。

直观理解：比较审敛法的思想非常朴素——找一个已知的"参照物"来对标。

比较审敛法的极限形式：

若 lim⁡n→∞unvn=l\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = l（0<l<+∞0 < l < +\infty），则 ∑un\sum u_n 与 ∑vn\sum v_n 同敛散。

（2）比值审敛法（达朗贝尔判别法）

设 ∑un\sum u_n 为正项级数，且 lim⁡n→∞un+1un=ρ\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho，则：

  • 当 ρ<1\rho < 1 时，级数收敛；
  • 当 ρ>1\rho > 1 时，级数发散；
  • 当 ρ=1\rho = 1 时，该判别法失效，需改用其他方法。

直观理解：比值法将级数与几何级数进行"渐近比较"——若后项与前项之比最终小于 1，说明级数类似于一个 ∣q∣<1|q| < 1 的等比级数，故收敛。

（3）根值审敛法（柯西判别法）

设 ∑un\sum u_n 为正项级数，且 lim⁡n→∞unn=ρ\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = \rho，则：

  • 当 ρ<1\rho < 1 时，级数收敛；
  • 当 ρ>1\rho > 1 时，级数发散；
  • 当 ρ=1\rho = 1 时，该判别法失效。

（4）积分审敛法

若 f(x)f(x) 在 [1,+∞)[1, +\infty) 上非负且单调递减，un=f(n)u_n = f(n)，则正项级数 ∑un\sum u_n 与反常积分 ∫1+∞f(x) dx\int_1^{+\infty} f(x) \, \mathrm{d}x 同敛散。

积分审敛法的一个经典应用就是用来证明 pp-级数的敛散性：∑1np\sum \frac{1}{n^p} 与 ∫1∞1xp dx\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p} \, \mathrm{d}x 同敛散，而该积分在 p>1p > 1 时收敛，p≤1p \le 1 时发散。

三、审敛法选用策略

当面对一个正项级数时，建议按以下顺序尝试：

  1. 先检查通项是否趋于零：若 lim⁡un≠0\lim u_n \neq 0，直接判定发散；
  2. 若通项中含有 n!n!、ana^n 等因子，优先尝试比值法；
  3. 若通项中含有 nn 的幂次（如 npn^p），优先尝试比较法（与 pp-级数比较）或根值法；
  4. 若通项为 1n(ln⁡n)p\frac{1}{n(\ln n)^p} 等形式，比值法和根值法通常失效（极限为 1），可考虑积分审敛法。

四、例题

例 1　判断级数 ∑n=1∞n2n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} 的敛散性。

解：用比值法。un=n2nu_n = \frac{n}{2^n}。

un+1un=n+12n+1⋅2nn=n+12n=12⋅n+1n\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{n+1}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n} = \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{n+1}{n}

lim⁡n→∞un+1un=12⋅1=12<1\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} < 1

故级数收敛。

例 2　判断 ∑n=1∞1n2+n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n} 的敛散性。

解：用比较法。当 nn 很大时，1n2+n∼1n2\frac{1}{n^2 + n} \sim \frac{1}{n^2}（等价无穷小）。

lim⁡n→∞1/(n2+n)1/n2=lim⁡n→∞n2n2+n=1∈(0,+∞)\lim_{n \to \infty} \frac{1/(n^2 + n)}{1/n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + n} = 1 \in (0, +\infty)

而 ∑1n2\sum \frac{1}{n^2}（pp-级数，p=2>1p = 2 > 1）收敛，故原级数收敛。

第三节 绝对收敛与条件收敛

一、交错级数

交错级数是各项正负交替的级数，其一般形式为：

∑n=1∞(−1)n−1un=u1−u2+u3−u4+⋯(un>0)\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n = u_1 - u_2 + u_3 - u_4 + \cdots \quad (u_n > 0)

莱布尼茨审敛法：若交错级数满足：

  1. un≥un+1u_n \ge u_{n+1}（即 {un}\{u_n\} 单调递减）；
  2. lim⁡n→∞un=0\displaystyle \lim_{n \to \infty} u_n = 0；

则该交错级数收敛，且其和的绝对值不超过首项 u1u_1，余项 ∣Rn∣≤un+1|R_n| \le u_{n+1}。

直观理解：莱布尼茨级数的部分和在数轴上来回摆动，但摆幅越来越小，最终收敛到某个确定的值。

二、绝对收敛与条件收敛

对于任意项级数 ∑un\sum u_n（unu_n 可正可负），定义：

  • 若 ∑∣un∣\sum |u_n| 收敛，则称 ∑un\sum u_n 绝对收敛；
  • 若 ∑∣un∣\sum |u_n| 发散但 ∑un\sum u_n 本身收敛，则称 ∑un\sum u_n 条件收敛。

重要定理：绝对收敛的级数必定收敛（反之不真）。

三、例题

例 1　判断 ∑n=1∞(−1)n−1n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}（交错调和级数）的敛散性。

解：un=1nu_n = \frac{1}{n}，unu_n 单调递减趋于 0，由莱布尼茨判别法知级数收敛。

但 ∑∣un∣=∑1n\sum |u_n| = \sum \frac{1}{n} 为调和级数，发散。故原级数条件收敛。

例 2　判断 ∑n=1∞(−1)n−1n2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2} 的敛散性。

解：∑n=1∞∣(−1)n−1n2∣=∑n=1∞1n2\sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^{n-1}}{n^2} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}（pp-级数，p=2>1p = 2 > 1）收敛。故原级数绝对收敛。

第四节 幂级数

一、函数项级数的概念

若级数的每一项都是定义在某区间 II 上的函数，即 ∑n=1∞un(x)\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)，则称为函数项级数。对 II 中的每一个 xx，该级数可能收敛也可能发散。

使级数收敛的所有 xx 的集合称为收敛域；在收敛域上，级数的和是一个关于 xx 的函数 S(x)S(x)，称为和函数。

二、幂级数及其收敛半径

形如

∑n=0∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+⋯\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2 + \cdots

的级数称为幂级数，其中 x0x_0 为展开中心。为简单起见，常取 x0=0x_0 = 0，即讨论 ∑anxn\sum a_n x^n 的形式。

阿贝尔定理：对于幂级数 ∑anxn\sum a_n x^n：

  • 若它在 x=x1≠0x = x_1 \neq 0 处收敛，则对满足 ∣x∣<∣x1∣|x| < |x_1| 的所有 xx，级数绝对收敛；
  • 若它在 x=x2x = x_2 处发散，则对满足 ∣x∣>∣x2∣|x| > |x_2| 的所有 xx，级数发散。

由此可知，存在一个非负数 RR（0≤R≤+∞0 \le R \le +\infty），称为收敛半径，使得：

  • ∣x−x0∣<R|x - x_0| < R 时，级数绝对收敛；
  • ∣x−x0∣>R|x - x_0| > R 时，级数发散；
  • ∣x−x0∣=R|x - x_0| = R 时，敛散性需单独判定。

收敛半径的计算：若 lim⁡n→∞∣an+1an∣=ρ\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \rho，则：

R={1ρ,当 0<ρ<+∞+∞,当 ρ=00,当 ρ=+∞R = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho}, & \text{当 } 0 < \rho < +\infty \\ +\infty, & \text{当 } \rho = 0 \\ 0, & \text{当 } \rho = +\infty \end{cases}

同样，也可用根值形式：若 lim⁡n→∞∣an∣n=ρ\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \rho，R=1ρR = \frac{1}{\rho}。

三、幂级数的运算性质

在收敛区间内，幂级数具有以下优良性质：

  1. 逐项求导：S′(x)=∑n=1∞nanxn−1S'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}，且收敛半径不变；
  2. 逐项积分：∫0xS(t) dt=∑n=0∞ann+1xn+1\int_0^x S(t) \, \mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}，且收敛半径不变；
  3. 四则运算：两个幂级数可在其公共收敛区间内进行加、减、乘运算（除法较复杂，需保证分母不为零）。

逐项求导和逐项积分是幂级数最重要的操作性质，它们是求解许多复杂级数和函数的关键工具。

四、例题

例 1　求 ∑n=1∞xnn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} 的收敛域及和函数。

解：先求收敛半径。an=1na_n = \frac{1}{n}。

ρ=lim⁡n→∞∣an+1an∣=lim⁡n→∞nn+1=1\rho = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1

故 R=1R = 1。在 x=1x = 1 处级数为 ∑1n\sum \frac{1}{n}（调和级数，发散）；在 x=−1x = -1 处为 ∑(−1)nn\sum \frac{(-1)^n}{n}（交错调和级数，收敛）。收敛域为 [−1,1)[-1, 1)。

求和函数：记 S(x)=∑n=1∞xnnS(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}。逐项求导：

S′(x)=∑n=1∞xn−1=1+x+x2+⋯=11−x(∣x∣<1)S'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} x^{n-1} = 1 + x + x^2 + \cdots = \frac{1}{1 - x} \quad (|x| < 1)

对 S′(x)S'(x) 积分，注意 S(0)=0S(0) = 0：

S(x)=∫0x11−t dt=−ln⁡(1−x)(∣x∣<1)S(x) = \int_0^x \frac{1}{1 - t} \, \mathrm{d}t = -\ln(1 - x) \quad (|x| < 1)

由阿贝尔定理（幂级数在收敛区间端点处的连续性），上式在 x=−1x = -1 处也成立。故：

∑n=1∞xnn=−ln⁡(1−x),x∈[−1,1)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} = -\ln(1 - x), \quad x \in [-1, 1)

第五节 函数的泰勒级数

一、泰勒级数与麦克劳林级数

若函数 f(x)f(x) 在 x=x0x = x_0 处具有任意阶导数，我们可以形式地写出其泰勒级数：

f(x)=∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)nf(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n

当 x0=0x_0 = 0 时，即为麦克劳林级数：

f(x)=∑n=0∞f(n)(0)n!xnf(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n

重点：一个函数在 x0x_0 处具有任意阶导数，只是其泰勒级数能够被写出——但这并不保证泰勒级数在 x0x_0 附近收敛于 f(x)f(x) 本身！要使泰勒级数真正等于原函数，还需要泰勒公式的余项趋于零。

收敛定理：设 f(x)f(x) 在 x0x_0 的某邻域内具有各阶导数，则 f(x)f(x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是：泰勒公式的余项 Rn(x)→0R_n(x) \to 0（n→∞n \to \infty）。

二、五个基本初等函数的麦克劳林展开式

以下为五个极为常见的展开式：

（1）指数函数

ex=1+x+x22!+x33!+⋯=∑n=0∞xnn!,x∈(−∞,+∞)e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}, \quad x \in (-\infty, +\infty)

（2）正弦函数

sin⁡x=x−x33!+x55!−⋯=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!,x∈(−∞,+∞)\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad x \in (-\infty, +\infty)

（3）余弦函数

cos⁡x=1−x22!+x44!−⋯=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!,x∈(−∞,+∞)\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}, \quad x \in (-\infty, +\infty)

（4）对数函数

ln⁡(1+x)=x−x22+x33−⋯=∑n=1∞(−1)n−1xnn,x∈(−1,1]\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n}, \quad x \in (-1, 1]

（5）二项式函数

(1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+⋯=∑n=0∞Cnαxn,x∈(−1,1)(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{C}^{\alpha}_{n} x^n, \quad x \in (-1, 1)

（当 α\alpha 为正整数时，展开式只有有限项，即为二项式定理，xx 可取任意实数。）

记忆技巧：注意 sin⁡x\sin x 只有奇次项，cos⁡x\cos x 只有偶次项，且符号交替。exe^x 则包含所有幂次，且符号全为正。

三、间接展开法

实际应用中，很少直接从定义出发去求函数的高阶导数来展开级数（直接展开法），而是借助已知的展开式，通过变量代换、逐项求导、逐项积分或四则运算来获得新函数的展开式（间接展开法）。

例：将 f(x)=arctan⁡xf(x) = \arctan x 展开为 xx 的幂级数。

解：已知 f′(x)=11+x2f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}。而 11+x2=11−(−x2)=∑n=0∞(−x2)n=∑n=0∞(−1)nx2n\frac{1}{1 + x^2} = \frac{1}{1 - (-x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}（∣x∣<1|x| < 1）。

逐项积分，注意 arctan⁡0=0\arctan 0 = 0：

arctan⁡x=∫0x11+t2 dt=∑n=0∞(−1)n2n+1x2n+1,x∈[−1,1]\arctan x = \int_0^x \frac{1}{1 + t^2} \, \mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}, \quad x \in [-1, 1]

第六节 函数的幂级数展开式的应用

一、近似计算

利用幂级数展开式取有限项，可以对许多无法用初等方法计算的数值进行近似计算。例如：

计算 ee 的近似值：e=∑n=0∞1n!=1+1+12!+13!+⋯e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots

取前 8 项：e≈1+1+0.5+0.166667+0.041667+0.008333+0.001389+0.000198≈2.71825e \approx 1 + 1 + 0.5 + 0.166667 + 0.041667 + 0.008333 + 0.001389 + 0.000198 \approx 2.71825

实际 e≈2.71828e \approx 2.71828，误差仅约 3×10−53 \times 10^{-5}。

误差估计：对于交错级数，余项的绝对值不超过被舍去的第一项；对于正项级数，可通过适当的比较来估计。

二、欧拉公式

将 eiθe^{i\theta} 展开（其中 ii 为虚数单位）：

eiθ=1+iθ+(iθ)22!+(iθ)33!+(iθ)44!+⋯=(1−θ22!+θ44!−⋯ )+i(θ−θ33!+θ55!−⋯ )=cos⁡θ+isin⁡θ\begin{aligned} e^{i\theta} &= 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \frac{(i\theta)^4}{4!} + \cdots \\ &= \left(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots\right) + i\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots\right) \\ &= \cos\theta + i\sin\theta \end{aligned}

这就是著名的欧拉公式，它将三角函数与指数函数通过复数的桥梁紧密地联系在了一起。特别地，当 θ=π\theta = \pi 时，得到 eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0——被许多人誉为"数学中最优美的公式"，因为它将数学中五个最重要的常数 e,i,π,1,0e, i, \pi, 1, 0 结合在一起。

三、求极限、解微分方程等

幂级数还广泛用于：

  • 求某些不定式的极限（展开分子和分母的泰勒级数）；
  • 求微分方程的幂级数解；
  • 计算定积分的近似值（将难以直接积分的被积函数展开后逐项积分）。

第七节 傅里叶级数（Fourier Series）

一、从泰勒级数到傅里叶级数

泰勒级数用幂函数 {xn}\{x^n\} 作为"基函数"来表示（逼近）一个函数，但这种表示要求函数无穷次可导，适用范围有限。

傅里叶级数则另辟蹊径——用三角函数 {1,cos⁡nx,sin⁡nx}\{1, \cos nx, \sin nx\} 作为"基函数"来表示周期函数。由于三角函数天然具有周期性，傅里叶级数特别适合描述机械振动、声波、电磁波、热传导等周期现象。

二、三角函数系的正交性

函数系 {1,cos⁡x,sin⁡x,cos⁡2x,sin⁡2x,…}\{1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \ldots\} 在区间 [−π,π][-\pi, \pi] 上具有正交性：

∫−ππcos⁡nx dx=0,∫−ππsin⁡nx dx=0\int_{-\pi}^{\pi} \cos nx \, \mathrm{d}x = 0, \quad \int_{-\pi}^{\pi} \sin nx \, \mathrm{d}x = 0

∫−ππcos⁡mxcos⁡nx dx={0,m≠nπ,m=n≠0\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx \, \mathrm{d}x = \begin{cases} 0, & m \neq n \\ \pi, & m = n \neq 0 \end{cases}

∫−ππsin⁡mxsin⁡nx dx={0,m≠nπ,m=n≠0\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx \, \mathrm{d}x = \begin{cases} 0, & m \neq n \\ \pi, & m = n \neq 0 \end{cases}

∫−ππcos⁡mxsin⁡nx dx=0(对所有 m,n)\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \sin nx \, \mathrm{d}x = 0 \quad (\text{对所有 } m, n)

直观理解：“正交"意味着两个不同的三角函数相乘后在 [−π,π][-\pi, \pi] 上的积分为零，这与向量空间中两个正交向量的内积为零如出一辙。三角函数系构成了一组"正交基”。

三、傅里叶级数的定义

设 f(x)f(x) 是以 2π2\pi 为周期的函数。若 f(x)f(x) 能展开为三角级数：

f(x)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)

则利用正交性可求得系数：

an=1π∫−ππf(x)cos⁡nx dx,n=0,1,2,…\boxed{a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx \, \mathrm{d}x, \quad n = 0, 1, 2, \ldots}

bn=1π∫−ππf(x)sin⁡nx dx,n=1,2,3,…\boxed{b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx \, \mathrm{d}x, \quad n = 1, 2, 3, \ldots}

这些 an,bna_n, b_n 称为函数 f(x)f(x) 的傅里叶系数，以它们为系数写出的三角级数称为 f(x)f(x) 的傅里叶级数。

关于 a0a_0 的写法：为何第一项写作 a02\frac{a_0}{2} 而非 a0a_0？因为若按 ana_n 的公式计算 n=0n = 0，得到 a0=1π∫−ππf(x) dxa_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, \mathrm{d}x，而常数项对应于 a02=12π∫−ππf(x) dx\frac{a_0}{2} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, \mathrm{d}x——恰好是函数在一个周期上的平均值。这种写法使得 ana_n 的公式对 n=0n = 0 也保持一致。

四、狄利克雷收敛定理

狄利克雷（Dirichlet）定理：设 f(x)f(x) 以 2π2\pi 为周期，且在一个周期内满足：

  1. 连续，或仅有有限个第一类间断点；
  2. 仅有有限个极值点（即分段单调）；

则 f(x)f(x) 的傅里叶级数在每一点 xx 处收敛，且其和为：

  • f(x−)+f(x+)2\dfrac{f(x^-) + f(x^+)}{2}（即左右极限的平均值），若 xx 为间断点；
  • f(x)f(x)，若 xx 为连续点。

这意味着在连续点处，傅里叶级数精确地等于原函数值；在跳跃间断点处，级数和收敛到"跳跃中点"。

五、正弦级数与余弦级数

  • 若 f(x)f(x) 为奇函数（f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)），则 an=0a_n = 0（对所有 nn），傅里叶级数仅含正弦项，称为正弦级数；
  • 若 f(x)f(x) 为偶函数（f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)），则 bn=0b_n = 0（对所有 nn），傅里叶级数仅含余弦项，称为余弦级数。

这一性质的根源在于：奇函数乘以偶函数（cos⁡nx\cos nx）得奇函数，在一个对称区间上的积分为零；奇函数乘以奇函数（sin⁡nx\sin nx）得偶函数，积分不为零。

六、例题

例　将周期为 2π2\pi 的方波函数

f(x)={−1,−π<x<01,0<x<πf(x) = \begin{cases} -1, & -\pi < x < 0 \\ 1, & 0 < x < \pi \end{cases}

展开为傅里叶级数。

解：f(x)f(x) 为奇函数，故 an=0a_n = 0（n=0,1,2,…n = 0, 1, 2, \ldots）。

bn=1π∫−ππf(x)sin⁡nx dx=2π∫0πsin⁡nx dx=2π[−cos⁡nxn]0π=2nπ(1−cos⁡nπ)=2nπ[1−(−1)n]\begin{aligned} b_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx \, \mathrm{d}x = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin nx \, \mathrm{d}x \\ &= \frac{2}{\pi} \left[ -\frac{\cos nx}{n} \right]_0^{\pi} = \frac{2}{n\pi} (1 - \cos n\pi) \\ &= \frac{2}{n\pi} [1 - (-1)^n] \end{aligned}

当 nn 为偶数时，bn=0b_n = 0；当 nn 为奇数时，bn=4nπb_n = \frac{4}{n\pi}。

故：

f(x)=4π(sin⁡x+13sin⁡3x+15sin⁡5x+⋯ )=4π∑k=0∞sin⁡(2k+1)x2k+1f(x) = \frac{4}{\pi} \left( \sin x + \frac{1}{3} \sin 3x + \frac{1}{5} \sin 5x + \cdots \right) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin(2k+1)x}{2k+1}

在 x=0,±π,±2π,…x = 0, \pm\pi, \pm2\pi, \ldots 处，级数和收敛到 f(0−)+f(0+)2=−1+12=0\frac{f(0^-) + f(0^+)}{2} = \frac{-1 + 1}{2} = 0。

启示：一个简单的方波，需要无穷多个正弦波的叠加才能精确表示。随着叠加的项数增多，波形越来越接近方波，但在跳跃点附近始终有"过冲"现象（吉布斯现象），过冲幅度约为跳跃高度的 9%，不会因项数增加而消失。这说明了傅里叶级数在间断点附近的收敛是不均匀的。

第八节 一般周期函数的傅里叶级数

一、周期为 2l2l 的函数

前面的讨论均针对周期为 2π2\pi 的函数。对于以 2l2l 为周期的函数 f(x)f(x)，只需做变量代换 t=πlxt = \frac{\pi}{l} x 即可。此时傅里叶级数为：

f(x)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nπxl+bnsin⁡nπxl)f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{n\pi x}{l} + b_n \sin \frac{n\pi x}{l} \right)

其中：

an=1l∫−llf(x)cos⁡nπxl dx,n=0,1,2,…a_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \cos \frac{n\pi x}{l} \, \mathrm{d}x, \quad n = 0, 1, 2, \ldots

bn=1l∫−llf(x)sin⁡nπxl dx,n=1,2,3,…b_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \sin \frac{n\pi x}{l} \, \mathrm{d}x, \quad n = 1, 2, 3, \ldots

二、半幅展开

对于仅定义在 [0,l][0, l] 上的非周期函数 f(x)f(x)，我们可以将其延拓为周期函数。最常用的两种延拓方式：

  1. 偶延拓（得到余弦级数）：将 f(x)f(x) 在 [−l,0][-l, 0] 上定义为 f(−x)f(-x)，此时 bn=0b_n = 0；
  2. 奇延拓（得到正弦级数）：将 f(x)f(x) 在 [−l,0][-l, 0] 上定义为 −f(−x)-f(-x)，此时 an=0a_n = 0。

这两种展开方式在实际问题中各有其应用场景（如热传导方程中不同边界条件的选择）。

第七章 重积分

定积分解决了一元函数在区间上的"累积"问题。当问题从一维推广到二维、三维时，我们就需要二重积分和三重积分。本章的核心思想与定积分一脉相承：“分割 → 近似 → 求和 → 取极限”，只是积分区域由区间变成了平面区域或空间区域。

第一节 重积分的概念与性质

一、二重积分的概念

物理背景：设有一块平面薄板，占据区域 DD，其面密度为 ρ(x,y)\rho(x, y)（各处厚薄不均匀）。求薄板的质量。

将 DD 分为 nn 个小块，在第 ii 个小块 Δσi\Delta \sigma_i 中任取一点，该小块质量近似为 ρ⋅Δσi\rho \cdot \Delta \sigma_i，求和取极限即得总质量。这引出了二重积分的定义：

∬Df(x,y) dσ=lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi\iint_D f(x, y) \, \mathrm{d}\sigma = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i) \Delta \sigma_i

其中 dσ\mathrm{d}\sigma 称为面积元素。在直角坐标系下，dσ=dx dy\mathrm{d}\sigma = \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y。

几何意义：若 f(x,y)≥0f(x, y) \ge 0，则二重积分 ∬Df(x,y) dσ\iint_D f(x, y) \, \mathrm{d}\sigma 表示以区域 DD 为底、以曲面 z=f(x,y)z = f(x, y) 为顶的曲顶柱体的体积。

二、三重积分的概念

类似地，三重积分的物理背景是空间物体的质量（体密度为 ρ(x,y,z)\rho(x, y, z)）：

∭Ωf(x,y,z) dV\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \, \mathrm{d}V

在直角坐标系下，dV=dx dy dz\mathrm{d}V = \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z。

三、重积分的基本性质

重积分继承了定积分的大部分性质：

  1. 线性性质：∬D(af+bg) dσ=a∬Df dσ+b∬Dg dσ\iint_D (af + bg) \, \mathrm{d}\sigma = a\iint_D f \, \mathrm{d}\sigma + b\iint_D g \, \mathrm{d}\sigma
  2. 区域可加性：若 D=D1∪D2D = D_1 \cup D_2（无重叠），则 ∬D=∬D1+∬D2\iint_D = \iint_{D_1} + \iint_{D_2}
  3. 保序性：若 f≤gf \le g，则 ∬Df≤∬Dg\iint_D f \le \iint_D g
  4. 估值不等式：m⋅σ(D)≤∬Df dσ≤M⋅σ(D)m \cdot \sigma(D) \le \iint_D f \, \mathrm{d}\sigma \le M \cdot \sigma(D)（m,Mm, M 为 ff 在 DD 上的最小值和最大值，σ(D)\sigma(D) 为 DD 的面积）
  5. 中值定理：若 ff 在闭区域 DD 上连续，则存在 (ξ,η)∈D(\xi, \eta) \in D，使 ∬Df dσ=f(ξ,η)⋅σ(D)\iint_D f \, \mathrm{d}\sigma = f(\xi, \eta) \cdot \sigma(D)

第二节 二重积分的计算

二重积分计算的核心思想是化二重积分为二次积分（即累次积分）。

一、直角坐标系下的计算

（1）XX-型区域

若区域 DD 可表示为 a≤x≤ba \le x \le b，φ1(x)≤y≤φ2(x)\varphi_1(x) \le y \le \varphi_2(x)，则：

∬Df(x,y) dx dy=∫ab[∫φ1(x)φ2(x)f(x,y) dy]dx\boxed{\iint_D f(x, y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \int_a^b \left[ \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y) \, \mathrm{d}y \right] \mathrm{d}x}

先对 yy 积分（将 xx 视为常数），再对 xx 积分。

（2）YY-型区域

若 DD 可表示为 c≤y≤dc \le y \le d，ψ1(y)≤x≤ψ2(y)\psi_1(y) \le x \le \psi_2(y)，则：

∬Df(x,y) dx dy=∫cd[∫ψ1(y)ψ2(y)f(x,y) dx]dy\boxed{\iint_D f(x, y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \int_c^d \left[ \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x, y) \, \mathrm{d}x \right] \mathrm{d}y}

先对 xx 积分，再对 yy 积分。

选择策略：选择 XX-型还是 YY-型取决于被积函数和区域的形状。原则是使两次积分都尽可能简单——如果按一种顺序积分会遇到难以积出的函数，不妨尝试交换积分次序。

二、极坐标系下的计算

当积分区域为圆形、扇形、环形，或被积函数含有 x2+y2x^2 + y^2 时，使用极坐标往往能大大简化计算。

坐标变换：x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta

面积元素：dσ=r dr dθ\mathrm{d}\sigma = r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta（注意：不要遗漏 rr）

∬Df(x,y) dx dy=∬Df(rcos⁡θ,rsin⁡θ)⋅r dr dθ\boxed{\iint_D f(x, y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \iint_D f(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta}

为什么 dσ=r dr dθ\mathrm{d}\sigma = r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta？ 在极坐标网格中，rr 增加 dr\mathrm{d}r、θ\theta 增加 dθ\mathrm{d}\theta 所形成的小面积近似为 r⋅dr⋅dθr \cdot \mathrm{d}r \cdot \mathrm{d}\theta（扇形环的弧长为 r dθr \, \mathrm{d}\theta，宽度为 dr\mathrm{d}r，面积 = 弧长 × 宽）。rr 越大（离原点越远），同样的 dθ\mathrm{d}\theta 对应的弧长就越大，因此面积元中多出一个因子 rr。

三、例题

例 1　计算 ∬De−x2−y2 dx dy\displaystyle \iint_D e^{-x^2 - y^2} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y，其中 DD 为圆 x2+y2≤a2x^2 + y^2 \le a^2 在第一象限的部分。

解：用极坐标。DD：0≤r≤a0 \le r \le a，0≤θ≤π20 \le \theta \le \frac{\pi}{2}。

∬De−(x2+y2) dx dy=∫0π/2dθ∫0ae−r2⋅r dr=π2⋅[−12e−r2]0a=π2⋅12(1−e−a2)=π4(1−e−a2)\begin{aligned} \iint_D e^{-(x^2 + y^2)} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y &= \int_0^{\pi/2} \mathrm{d}\theta \int_0^a e^{-r^2} \cdot r \, \mathrm{d}r \\ &= \frac{\pi}{2} \cdot \left[ -\frac{1}{2} e^{-r^2} \right]_0^a \\ &= \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{2} (1 - e^{-a^2}) = \frac{\pi}{4} (1 - e^{-a^2}) \end{aligned}

第三节 三重积分的计算

一、直角坐标系下的计算（投影法）

将空间区域 Ω\Omega 投影到 xOyxOy 面上得投影区域 DxyD_{xy}，Ω\Omega 可表示为 z1(x,y)≤z≤z2(x,y)z_1(x, y) \le z \le z_2(x, y)（(x,y)∈Dxy(x, y) \in D_{xy}），则：

∭Ωf(x,y,z) dV=∬Dxy[∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z) dz]dx dy\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \, \mathrm{d}V = \iint_{D_{xy}} \left[ \int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)} f(x, y, z) \, \mathrm{d}z \right] \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y

先对 zz 积分（得到一个关于 x,yx, y 的函数），再对 (x,y)(x, y) 在投影区域上做二重积分。

二、柱坐标与球坐标

柱坐标

适用于积分区域为圆柱体、旋转抛物面等具有旋转对称性的区域。

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ,z=zx = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad z = z

体积元素：dV=r dr dθ dz\mathrm{d}V = r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}z

球坐标

适用于积分区域为球体、锥体等情形。

x=ρsin⁡φcos⁡θ,y=ρsin⁡φsin⁡θ,z=ρcos⁡φx = \rho \sin\varphi \cos\theta, \quad y = \rho \sin\varphi \sin\theta, \quad z = \rho \cos\varphi

其中 ρ\rho 为点到原点的距离，φ\varphi 为极角（与 zz 轴正向的夹角，0≤φ≤π0 \le \varphi \le \pi），θ\theta 为方位角。

体积元素：dV=ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\mathrm{d}V = \rho^2 \sin\varphi \, \mathrm{d}\rho \, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}\theta

直观理解：在球坐标中，ρ2sin⁡φ\rho^2 \sin\varphi 这个因子来源于坐标变换的雅可比行列式。从几何上看：ρ\rho 增加 dρ\mathrm{d}\rho（径向厚度），φ\varphi 增加 dφ\mathrm{d}\varphi（产生弧长 ρ dφ\rho \, \mathrm{d}\varphi），θ\theta 增加 dθ\mathrm{d}\theta（在最"宽"处——即赤道面——产生弧长 ρsin⁡φ dθ\rho \sin\varphi \, \mathrm{d}\theta），三维体积 = 径向厚度 × 经线弧长 × 纬线弧长 = dρ⋅(ρ dφ)⋅(ρsin⁡φ dθ)=ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\mathrm{d}\rho \cdot (\rho \, \mathrm{d}\varphi) \cdot (\rho \sin\varphi \, \mathrm{d}\theta) = \rho^2 \sin\varphi \, \mathrm{d}\rho \, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}\theta。

第四节 重积分应用举例

一、几何应用

  1. 平面区域面积：A=∬Ddx dyA = \iint_D \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y
  2. 曲顶柱体体积：V=∬Df(x,y) dx dyV = \iint_D f(x, y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y
  3. 空间区域体积：V=∭ΩdVV = \iiint_{\Omega} \mathrm{d}V
  4. 曲面面积：S=∬D1+zx2+zy2 dx dyS = \iint_D \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y（其中 z=f(x,y)z = f(x, y)，DD 为曲面在 xOyxOy 面上的投影区域）

二、物理应用

  1. 质量：m=∬Dρ(x,y) dσm = \iint_D \rho(x, y) \, \mathrm{d}\sigma（二维薄片）；m=∭Ωρ(x,y,z) dVm = \iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \, \mathrm{d}V（三维物体）
  2. 质心（重心）：xˉ=∬Dxρ dσ∬Dρ dσ,yˉ=∬Dyρ dσ∬Dρ dσ\displaystyle \bar{x} = \frac{\iint_D x\rho \, \mathrm{d}\sigma}{\iint_D \rho \, \mathrm{d}\sigma}, \quad \bar{y} = \frac{\iint_D y\rho \, \mathrm{d}\sigma}{\iint_D \rho \, \mathrm{d}\sigma}（二维情形）
  3. 转动惯量：Ix=∬Dy2ρ dσ,Iy=∬Dx2ρ dσ,IO=∬D(x2+y2)ρ dσI_x = \iint_D y^2 \rho \, \mathrm{d}\sigma, \quad I_y = \iint_D x^2 \rho \, \mathrm{d}\sigma, \quad I_O = \iint_D (x^2 + y^2) \rho \, \mathrm{d}\sigma（二维情形）

三、例题

例　求半径为 RR 的均匀半圆形薄片（面密度为常数 ρ\rho）的质心。

解：由对称性知 xˉ=0\bar{x} = 0。

m=ρ⋅12πR2m = \rho \cdot \frac{1}{2} \pi R^2

yˉ=1m∬Dyρ dσ=2πR2∬Dy dx dy\bar{y} = \frac{1}{m} \iint_D y\rho \, \mathrm{d}\sigma = \frac{2}{\pi R^2} \iint_D y \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y

用极坐标：DD 为 0≤r≤R0 \le r \le R，0≤θ≤π0 \le \theta \le \pi，y=rsin⁡θy = r\sin\theta。

∬Dy dx dy=∫0πsin⁡θ dθ∫0Rr⋅r dr=[−cos⁡θ]0π⋅R33=2⋅R33=2R33\iint_D y \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \int_0^{\pi} \sin\theta \, \mathrm{d}\theta \int_0^R r \cdot r \, \mathrm{d}r = [-\cos\theta]_0^{\pi} \cdot \frac{R^3}{3} = 2 \cdot \frac{R^3}{3} = \frac{2R^3}{3}

yˉ=2πR2⋅2R33=4R3π\bar{y} = \frac{2}{\pi R^2} \cdot \frac{2R^3}{3} = \frac{4R}{3\pi}

故质心坐标为 (0, 4R3π)\displaystyle \left(0, \, \frac{4R}{3\pi}\right)。